Question

【題目】如圖，已知圓，點是圓內(nèi)一個定點，是圓上任意-一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點，連接，記動點的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程;

(2)若、是曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點，點是曲線.上任意-一點(不同于點、)，當直線、的斜率都存在時，記它們的斜率分別為、，求證:的為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得，可得，由橢圓的定義知，點的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，即可求出軌跡方程．

（2）設(shè)的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為，表示出

、，由、、在橢圓上，則滿足橢圓方程，消去即可得為一個定值．

(1)解:在線段的中垂線上，

，

，

又

點的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，

，，即，，

，

曲線的方程為.

(2)設(shè)曲線上點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為，

故，，

由斜率公式得，

又，，

因此，斜率之積為定值.