Question

【題目】已知F1，F2是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且|PF1|＜|PF2|，線段PF1的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)F2，若橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，則的最小值為（ ）

A.2B.﹣2C.6D.﹣6

Answer 1

【答案】B

【解析】

設(shè)，不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，橢圓和曲線的焦點(diǎn)在軸上，且它們的長(zhǎng)半軸為，實(shí)半軸為，半焦距為，運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義，以及垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合離心率和基本不等式，即可求解.

設(shè)，不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，

橢圓和曲線的焦點(diǎn)在軸上，且它們的長(zhǎng)半軸為，實(shí)半軸為，半焦距為，

由橢圓和雙曲線的定義可得，

由線段的垂直平分線過點(diǎn)，可得

又由點(diǎn)在第二象限，所以，即，所以，

且， 即，

又由橢圓和雙曲線的離心率，可得，

則

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取得最小值.

故選：B.