Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，.

（1）當(dāng)，，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；

（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率,再由點(diǎn)斜式可求得線在點(diǎn)處的切線方程;

(2)利用,可得,令,可解得,

,可得,再令,通過(guò)兩次求導(dǎo)可得,可得,從而可證.

（1）依題意得：，則，

，，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程：，即

（2）

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

此時(shí)，∴

當(dāng)時(shí)，令，且當(dāng)時(shí)，，遞減；

當(dāng)時(shí)，，遞增

∴，∴（舍去）

綜上：.

（3）當(dāng)時(shí)，

∴，②①，得

∴，

令,則,

所以 ,因?yàn)?/span>,所以,

所以,

所以,

令,

則,

所以, 因?yàn)?/span>,所以,

所以為上的增函數(shù),

所以,

所以為上的增函數(shù),

所以,即,

所以,

因?yàn)?/span>,所以,

所以,即,

所以.