Question

（1）求離心率為

5

3

，且與雙曲線

x2

4

-y2=1有公共焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求一條漸近線為2x+3y=0且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，可得c=

a2-b2

=

5

且

c

a

=

5

3

，聯(lián)解可得a、b的值，從而得到所求橢圓的方程；
（2）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為4x²-9y²=λ，根據(jù)λ＞0和λ＜0時(shí)兩種情況加以討論，分別解關(guān)于λ的方程，可得λ的值，代入所設(shè)方程再化成標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得到所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）∵橢圓與雙曲線

x2

4

-y2=1有公共焦點(diǎn)，且雙曲線的焦點(diǎn)為（±

5

，0），
∴設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，滿足a²-b²=5…①
又∵橢圓離心率為

5

3

，∴

c

a

=

5

3

…②
聯(lián)解①②，得

a=3 b=2

，故所求橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1
（2）∵雙曲線的一條漸近線方程為2x+3y=0，
∴設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為4x²-9y²=λ，
化成標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

λ 4

-

y2

λ 9

=1（λ＞0）或

y2

- λ 9

-

x2

- λ 4

=1（λ＜0）
∵雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，可得b=2
∴當(dāng)λ＞0時(shí)，

λ

9

=4可得λ=36，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

-

y2

4

=1；
當(dāng)λ＜0時(shí)，-

λ

4

=4可得λ=-16，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

16 9

-

x2

4

=1
綜上所述，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

-

y2

4

=1或

y2

16 9

-

x2

4

=1

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓、雙曲線滿足的條件，求它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．