Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

5

3

，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C上的動點(diǎn)P引圓O：x²+y²=b²的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點(diǎn)，試探究橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由點(diǎn)P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3求出a，然后根據(jù)離心率求出b，最后根據(jù)a、b、c關(guān)系求出b，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），若∠APB=90°，則有|OA|=|AP|，建立關(guān)于x₀和y₀的一個(gè)方程，然后根據(jù)P（x₀，y₀）在橢圓上，建立第二個(gè)方程，解之即可求出所求．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意

c a = 5 3 a=3 a2=b2+c2

∴b=2，∴所求橢圓方程為

x2

9

+

y2

4

=1
（2）如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
若∠APB=90°，則有|OA|=|AP|．
即|OA|=

|OP|2-|OA|2

有2=

x02+y02-4

兩邊平方得x₀²+y₀²=8①
又因?yàn)镻（x₀，y₀）在橢圓上，所以4x₀²+9y₀²=36②
①，②聯(lián)立解得x02=

36

5

，y02=

4

5

所以滿足條件的有以下四組解

x0= 6 5 5 y0= 2 5 5

，

x0= 6 5 5 y0=- 2 5 5

，

x0=- 6 5 5 y0= 2 5 5

，

x0=- 6 5 5 y0=- 2 5 5

所以，橢圓C上存在四個(gè)點(diǎn)(

6 5

5

，

2 5

5

)，(

6 5

5

，-

2 5

5

)，(-

6 5

5

，

2 5

5

)，(-

6 5

5

，-

2 5

5

)，
分別由這四個(gè)點(diǎn)向圓O所引的兩條切線均互相垂直．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及圓的切線方程，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，此題是個(gè)難題．