Question

（2012•江西模擬）某電視節(jié)目《幸運(yùn)猜猜猜》有這樣一個(gè)競(jìng)猜環(huán)節(jié)，一件價(jià)格為9816元的商品，選手只知道1，6，8，9四個(gè)數(shù)，卻不知其順序，若在競(jìng)猜中猜出正確價(jià)格中的兩個(gè)或以上（但不含全對(duì)）正確位置，則正確位置會(huì)點(diǎn)亮紅燈作為提示；若全對(duì)，則所有位置全亮白燈并選手贏得該商品．
（Ⅰ）求某選手在第一次競(jìng)猜時(shí)，亮紅燈的概率；
（Ⅱ）若該選手只有二次機(jī)會(huì)，則他贏得這件商品的概率為多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，分析可得，若第一次競(jìng)猜時(shí)亮紅燈，則猜中猜出正確價(jià)格中的兩個(gè)或三個(gè)正確位置；由排列數(shù)公式可得4個(gè)數(shù)字全部順序的情況，計(jì)算可得其中2個(gè)位置正確的情況，而3個(gè)位置全部正確情況沒(méi)有，由等可能事件的概率公式，計(jì)算可得答案；
（Ⅱ）分3種情況討論：①第一次全部猜對(duì)，②第一次亮紅燈，即猜對(duì)2個(gè)數(shù)字，③第一次全部猜錯(cuò)，而第二次全部猜中，分別求出其概率，由互斥事件概率的加法公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，1、6、8、9進(jìn)行全排列，有A₄⁴=24種情況，
其中2個(gè)位置正確的情況有C₄²=6種，
3個(gè)位置全部正確情況沒(méi)有，
則第一次競(jìng)猜時(shí)亮紅燈的概率P =

6

24

=

1

4

；
（Ⅱ）若該選手能贏得商品，有三種情況：
①第一次全部猜對(duì)，概率為P1=

1

24

，
②第一次亮紅燈，即猜對(duì)2個(gè)數(shù)字，則可分析的剩下的2個(gè)位置必定是填反了數(shù)字，所以在第一次亮紅燈的情況下，第二次必定正確，則P2=

1

4

，
③第一次沒(méi)有亮紅燈，即第一次全部猜錯(cuò)，而第二次全部猜中，P3=

17

24

×

1

23

=

17

552

故能贏得商品的概率為P′=P1+P2+P3=

178

552

=

89

276

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件概率的計(jì)算，關(guān)鍵分析題意，明確紅燈亮的條件．