Question

（2012•江西模擬）已知函數(shù)f(x)=

3

2

sin2x-

1

2

(cos2x-sin2x)-1，x∈R，將函數(shù)f（x）向左平移

π

6

個(gè)單位后得函數(shù)g（x），設(shè)△ABC三個(gè)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．
（Ⅰ）若c=

7

，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；
（Ⅱ）若g（B）=0且

m

=(cosA，cosB)，

n

=(1，sinA-cosAtanB)，求

m

•

n

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡f（x）為sin(2x-

π

6

)-1，由f（C）=0求得sin(2C-

π

6

)=1，C=

π

3

，由余弦定理知：a2+b2-2abcos

π

3

=7，因sinB=3sinA，可得b=3a，由此求得a、b的值．
（Ⅱ）由題意可得g(x)=sin(2x+

π

6

)-1，由g（B）=0求得sin(2B+

π

6

)=1，故2B+

π

6

=

π

2

，化簡

m

•

n

等于sin（A+

π

6

），根據(jù)A+

π

6

的范圍求得

m

•

n

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sin2x-

1

2

(cos2x-sin2x)-1=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin(2x-

π

6

)-1．…（1分）
f(C)=sin(2C-

π

6

)-1=0，所以sin(2C-

π

6

)=1．
因?yàn)?span id="kdbvzhl" class="MathJye">2C-

π

6

∈(-

π

6

，

11π

6

)，
所以2C-

π

6

=

π

2

所以C=

π

3

．…（3分）
由余弦定理知：a2+b2-2abcos

π

3

=7，因sinB=3sinA，
所以由正弦定理知：b=3a．…（5分）
解得：a=1，b=3…（6分）
（Ⅱ）由題意可得g(x)=sin(2x+

π

6

)-1，所以g(B)=sin(2B+

π

6

)-1=0，所以sin(2B+

π

6

)=1．
因?yàn)?span id="7olytxs" class="MathJye">2B+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，所以2B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

6

又

m

=(cosA，

3

2

)，

n

=(1，sinA-

3

3

cosA)，
于是

m

•

n

=cosA+

3

2

(sinA-

3

3

cosA)=

1

2

cosA+

3

2

sinA=sin(A+

π

6

)…（8分）
∵B=

π

6

∴A∈(0，

5

6

π)，得 A+

π

6

∈(

π

6

，π)…（10分）
∴sin(A+

π

6

)∈(0，1]，即

m

•

n

∈(0，1]．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，解三角形，屬于中檔題．