Question

【題目】如圖，在直角梯形中，，，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，將，分別沿，

向上折起，使，重合于點(diǎn)，得到三棱錐．試在三棱錐中，

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，得出，而，根據(jù)線面垂直的判定定理證出平面，最后利用面面垂直的判定定理，即可證明平面平面；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間坐標(biāo)的運(yùn)算可得出和平面的法向量，利用空間向量法求夾角的公式，即可求出直線與平面所成角的正弦值．

解：（1）由題知：在直角梯形中，

，

所以在三棱錐中，，

所以，

又因?yàn)?/span>，，

所以平面， 又因?yàn)?/span>平面，

所以，平面平面.

（2）由（1）知：，，又，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別作為軸，軸，軸的正方向，

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

所以，，，，

設(shè)為平面的法向量，

，，

由，可得，

令得：，

設(shè)直線與平面所成角為，所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.