Question

（2012•瀘州一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

，二面角M-BO-C的大小為30°．
（Ⅰ）求證：平面POB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求直線BM與CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐D-PMO的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q為AD的中點可得四邊形BCDQ為平行四邊形，則CD∥BQ，從而QB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知，BQ⊥平面PAD，而BQ?平面PQB，滿足面面垂直的判定定理，從而證得結(jié)論．
（Ⅱ）以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系．則平面BOC的法向量為

n

=(0，0，1)；O，P，B，設(shè)M（x，y，z），求出M點坐標(biāo)，利用cos∠OBM=

BM • BO

| BM || BO |

，求出直線BM與CD所成角的余弦值．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結(jié)果，三棱錐D-PMO的體積就是V_M-POD求解即可．

解答：解：（Ⅰ）證明∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，O為AD的中點，
∴四邊形BCDO為平行四邊形，
∴CD∥BO．         
∵∠ADC=90°
∴∠AOB=90°  即OB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BO⊥平面PAD．             
∵BO?平面POB，
∴平面POB⊥平面PAD．      
（Ⅱ）∵PA=PD，O為AD的中點，∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．
（不證明PO⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如圖，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系．
則平面BOC的法向量為

n

=(0，0，1)；O（0，0，0），P(0，0，

3

)，B(0，

3

，0)，
C(-1，

3

，0)．
設(shè)M（x，y，z），
則

PM

=(x，y，z-

3

)，

MC

=(-1-x，

3

-y，-z)，
∵

PM

=t

MC

，
∴

x=t(-1-x) y=t( 3 -y) z- 3 =t(-z)

，
∴

x=- t 1+t y= 3 t 1+t z= 3 1+t

，
在平面MBO中，

OB

 =(0，

3

，0)，

OM

=(-

t

1+t

，

3 t

1+t

，

3

1+t

)，
∴平面MBO法向量為

m

=(

3

，0，t)．
∵二面角M-BO-C為30°，cos30°=

n • m

| n || m |

=

t

3+0+t2

=

3

2

，
∴t=3． 

CP

=(1，-

3

，

3

)，

OM

=

OC

+

1

4

CP

=(-1，

3

，0)+

1

4

(1，-

3

，

3

)=(-

3

4

，

3 3

4

，

3

4

)，

BM

=

BO

+

OM

=(-

3

4

，-

3

4

，

3

4

)
cos∠OBM=

BM • BO

| BM || BO |

=

- 3 4

15 4 3

=-

15

15

．
（Ⅲ）三棱錐D-PMO的體積就是V_M-POD=

1

3

×

1

2

OD×PO×yM=

1

3

×

1

2

×

1

2

×

3

2

×  

3

=

1

8

．

點評：本題考查平面與平面垂直，直線與直線所成的角的求法，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力．