Question

【題目】Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an2+2an=4Sn+3，
∴an+12+2an+1=4Sn+1+3，
兩式相減得：an+12﹣an2+2an+1﹣2an=4an+1 ，
整理得：an+12﹣an2=2（an+1+an），
又∵an＞0，
∴an+1﹣an=2，
又∵a12+2a1=4a1+3，
∴a1=3或a1=﹣1（舍），
∴數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；
（Ⅱ）由（I）可知an=2n+1，
∴bn= = = （ ﹣ ），
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為： （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
= （ ﹣ ）
=
【解析】（I）通過(guò)an2+2an=4Sn+3與an+12+2an+1=4Sn+1+3作差可知an+1﹣an=2，進(jìn)而可知數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；（Ⅱ）通過(guò)（I）可知an=2n+1，裂項(xiàng)可知bn= （ ﹣ ），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{aspan>n}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．