Question

已知定義域為[0，1]的函數(shù)同時滿足以下三個條件：①對任意，總有；②；③若，則有成立.
(1) 求的值；(2) 函數(shù)在區(qū)間[0,1]上是否同時適合①②③?并予以證明
(3) 假定存在,使得,且,求證:

Answer 1

(1)  (2) 函數(shù)在區(qū)間[0,1]上同時適合①②③.
(3)運用反證法思想來證明不等式的成立性。假設(shè)不成立，則可知來證明。

試題分析：（1）解：由①知：；由③知：，即；
∴ 
(2 ) 證明：由題設(shè)知：；
由知，得，有；
設(shè)，則，；
∴
即    
∴函數(shù)在區(qū)間[0,1]上同時適合①②③.
(3) 證明：若,則由題設(shè)知:,且由①知,
∴由題設(shè)及③知：
矛盾;
若,則則由題設(shè)知：,且由①知,
∴同理得：,矛盾;故由上述知:
點評：本題考查函數(shù)值的求法和函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答