Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F，O分別為PA，PB，AC的中點，AC=16，PA=PC=10．
（I）設G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE；
（II）證明：在△ABO內存在一點M，使FM⊥平面BOE，并求點M到OA，OB的距離．

Answer 1

【答案】分析：由于PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，O為AC的中點，AC=16，PA=PC=10，所以PO、OB、OC是兩兩垂直的三條直線，
因此可以考慮用空間向量解決：連接OP，以O為坐標原點，分別以OB、OC、OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，
對于（I），只需證明向量FG與平面BOE的一個法向量垂直即可，而根據坐標，平面的一個法向量可求，從而得證；
對于（II），在第一問的基礎上，課設點M的坐標，利用FM⊥平面BOE求出M的坐標，而其道OA、OB的距離就是點M 橫縱坐標的絕對值．
解答：證明：（I）如圖，連接OP，以O為坐標原點，分別以OB、OC、OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，
則O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3），（3分）
由題意得，G（0，4，0），因，
因此平面BOE的法向量為，）
得，又直線FG不在平面BOE內，因此有FG∥平面BOE．（6分）
（II）設點M的坐標為（x，y，0），則，
因為FM⊥平面BOE，
所以有，因此有，
即點M的坐標為（8分）
在平面直角坐標系xoy中，△AOB的內部區(qū)域滿足不等式組，
經檢驗，點M的坐標滿足上述不等式組，
所以在△ABO內存在一點M，使FM⊥平面BOE，
由點M的坐標得點M到OA，OB的距離為．（12分）
點評：本題考查直線與平面的平行的判定以及距離問題，建立了空間坐標系，所有問題就轉化為向量的運算，使得問題簡單，解決此類問題時要注意空間向量的使用．