Question

設數(shù)列{an}為前n項和為Sn，，數(shù)列{ Sn +2}是以2為公比的等比數(shù)列．
(1)求；
(2)抽去數(shù)列{an}中的第1項，第4項，第7項，……，第3n-2項，余下的項順序不變，組成一個新數(shù)列{cn}，若{cn}的前n項和為Tn，求證：
＜≤

Answer 1

 解：(1)由題意得：，，(1分)　　　　　　　　　
已知數(shù)列{ S_n +2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列
所以有：，    (4分)
當時，，又   (6分)
所以：　　　　(7分)
(２)由(１)知:，
∴數(shù)列{c_n}為2²，2³，2⁵，2⁶，2⁸，2⁹，……，它的奇數(shù)項組成以4為首項，公比為8的等比數(shù)列；偶數(shù)項組成以8為首項、公比為8的等比數(shù)列；(8分)
∴當n=2k-1(k∈N^*)時，
T_n=(c₁+ c₃+…+c_2k-1)+ (c₂+ c₄+…+ c_2k-2)
=(2²+2⁵+…+2^3k-1)+( 2³+2⁶+…+2^3k-3)
=+=×8^k-，(11分)
T_n+1= T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k = ×8^k-，(10分)
　=　　=　+，
∵ 5×8^k-12≥28，∴＜≤3。(11分)
∴當n="2k" (k∈N^*)時，
T_n=(c₁+ c₃+…+c_2k-1)+ (c₂+ c₄+…+ c_2k)
=(2²+2⁵+…+2^3k-1)+( 2³+2⁶+…+2^3k)
=+=×8^k-，(12分)
T_n+1= T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k+2 = ×8^k-，(13分)
    ∴ 　=　　=　+，∵8^k-1≥7，∴＜＜，
∴＜≤。(14分)

略