Question

已知橢圓中心在原點，上頂點為A（0，1），右焦點為F（1，0），右準線為l，l與x軸交于P點，直線AF交橢圓與點B．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：PF是∠APB的平分線；
（3）在l上任意取一點Q，求證：直線AQ，F(xiàn)Q，BQ的斜率成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）因為橢圓中心在原點，上頂點為A（0，1），右焦點為F（1，0），所以b=1，c=1，a²=2，由此能求出橢圓的方程．
（2）準線方程為x=2，直線AB的方程：y=-x+1，代入

x2

2

+y2=1，得3x²-4x=0，所以B(

4

3

，-

1

3

)，kAP=-

1

2

，kBP=

0-(- 1 3 )

2- 4 3

=

1

2

=-k_AP，由此能證明PF是∠APB的平分線．
（3）設Q（2，t）（t∈R），kAQ=

t-1

2

，k_FQ=t，kBQ=

t+ 1 3

2- 4 3

=

3t+1

2

，由此能證明直線AQ，F(xiàn)Q，BQ的斜率成等差數(shù)列．

解答：（1）解：因為橢圓中心在原點，上頂點為A（0，1），右焦點為F（1，0），
所以b=1，c=1，a²=2，
所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1…（4分）
（2）證明：準線方程為x=2，
∵直線AB過A（0，1），F(xiàn)（1，0）
∴直線AB的方程：y=-x+1，代入

x2

2

+y2=1，
整理，得3x²-4x=0，
解得x=0或x=

4

3

，…（6分）
把x=

4

3

代入

x2

2

+y2=1，得y=±

1

3

，
∴B(

4

3

，-

1

3

)，kAP=-

1

2

，kBP=

0-(- 1 3 )

2- 4 3

=

1

2

=-k_AP，
所以PF是∠APB的平分線．…（10分）
（3）證明：設Q（2，t）（t∈R），
kAQ=

t-1

2

，k_FQ=t，
kBQ=

t+ 1 3

2- 4 3

=

3t+1

2

，
因為kAQ+kBQ=

t-1

2

+

3t+1

2

=2t=2k_FQ，
所以直線AQ，F(xiàn)Q，BQ的斜率成等差數(shù)列．…（16分）

點評：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合應用，具體涉及到等差數(shù)列的性質，橢圓的基本知識，直線和橢圓的位置關系等知識點，解題時要認真審題，仔細解答，合理地進行等價轉化．