Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=BC=1，AB=2，E為AB的中點，將△ADE沿DE翻折至△A′DE，使二面角A′-DE-B為直二面角．
（1）若F、G分別為A′D、EB的中點，求證：FG∥平面A′BC；
（2）求二面角D-A′B-C度數(shù)的余弦值

Answer 1

分析：（1）F、G分別為A′D、EB的中點，要證FG∥平面A′BC，只需證明直線FG平行平面A′BC內的直線BP即可；
（2）要求二面角D-A′B-C度數(shù)的余弦值，只需求D-A′B-E的正弦值即可．

解答：證明：（1）取A′C的中點P，連接PF，BP；
因為F、G分別為A′D、EB的中點，PF∥CD，
且是CD的一半，BG∥CD，也是CD的一半，
所以四邊形FPBG是平行四邊形，所以PB∥FG，PB?平面A′BC，
則FG∥平面A′BC；

（2）將△ADE沿DE翻折至△A′DE，使二面角A′-DE-B為直二面角．
所以BC⊥平面A′BE，所以二面角D-A′B-C和D-A′B-E的和是90°
過E作ES⊥A′B于S連接SD，則∠DSE為二面角D-A′B-E的平面角，
所以ES=

2

2

，SD=

1+( 2 2 )2

=

6

2

∴sin∠DSE=

1

6 2

=

6

3

二面角D-A′B-C和D-A′B-E的和是90°
所以二面角D-A′B-C度數(shù)的余弦值為

6

3

點評：本題考查直線與平面平行的判定，額面積的求法，考查空間想象能力 邏輯思維能力，是中檔題．