【題目】已知橢圓的離心率為
,左、右焦點分別為
,
,焦距為6.
(1)求橢圓的方程.
(2)過橢圓左頂點的兩條斜率之積為的直線分別與橢圓交于
點.試問直線
是否過某定點?若過,求出該點的坐標(biāo);若不過,請說明理由.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)根據(jù)題意得到解得
,再由a,b,c的關(guān)系得到結(jié)果;(2)設(shè)出直線AM,聯(lián)立直線和橢圓,表示出點M的坐標(biāo),設(shè)直線
的斜率為
,則
,即
,把點
坐標(biāo)中
的替換為
,得到點N的坐標(biāo),利用兩點坐標(biāo)表示出直線MN即可得到直線過定點.
(1)由題意知解得
.
又,
,
橢圓方程為
.
(2)設(shè)左頂點,根據(jù)已知得直線
的斜率存在且不為零,
設(shè),代入橢圓方程,得
,
設(shè),則
,即
,
,
即.
設(shè)直線的斜率為
,則
,即
,把點
坐標(biāo)中
的替換為
,得
.
當(dāng)的橫坐標(biāo)不相等,即
時,
,直線
的方程為
,即
,該直線恒過定點
.
當(dāng)時,
、
的橫坐標(biāo)為零,直線
也過定點
.
綜上可知,直線過定點
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列有關(guān)平面向量分解定理的四個命題:
(1)一個平面內(nèi)有且只有一對不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基;
(2)一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不平行向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基;
(3)平面向量的基向量可能互相垂直;
(4)一個平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)三個互不平行向量的線性組合.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù),直線l:y=kx(k>0),以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線C的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A,B兩點,求|OA||OB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為
,
,
是拋物線上的兩個動點,且
,過
,
兩點分別作拋物線的切線,設(shè)其交點為
.
(1)若直線與
,
軸分別交于點
,
,且
的面積為
,求
的值;
(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為
,
,
是拋物線上的兩個動點,且
,過
,
兩點分別作拋物線的切線,設(shè)其交點為
.
(1)若直線與
,
軸分別交于點
,
,且
的面積為
,求
的值;
(2)記的面積為
,求
的最小值,并指出
最小時對應(yīng)的點
的坐標(biāo).
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點
為極點,以
軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線的普通方程和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線
相交于
兩點,設(shè)點
,已知
,求實數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩個平面相互垂直,下列命題
①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線
②一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線
③一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面
④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個平面
其中正確命題個數(shù)是( )
A. B.
C. 1D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線和曲線
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點
為極點,以
軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,且兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度.
(1)求曲線和曲線
的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線與
軸、
軸分別交于
兩點,且線段
的中點為
,若射線
與曲線
交于點
,求
兩點間的距離.
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