Question

如圖,是以為直徑的上一點(diǎn),于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的切線,與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)是的中點(diǎn),連結(jié)并延長(zhǎng)與相交于點(diǎn),延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn).

(1)求證:；

(2)求證:是的切線；

(3)若,且的半徑長(zhǎng)為,求和的長(zhǎng)度.

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)三角形的相似來(lái)證明，

（2）要證明直線是圓的切線，只要證明圓心與切點(diǎn)的連線與直線垂直即可。

（3），

【解析】

試題分析：．(1)證明：是的直徑，是的切線，

．又，．

易證，．

．．

是的中點(diǎn)，．．

(2)證明：連結(jié)．是的直徑，．

在中，由（1），知是斜邊的中點(diǎn)，

．．又，．

是的切線，．

，是的切線．

(3)解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．，．

由(1)，知，．

由已知，有，，即是等腰三角形．

，．，，即．

，四邊形是矩形，．

，易證．，即．

的半徑長(zhǎng)為，．．

解得．．，．．

在中，，，由勾股定理，得．

．解得（負(fù)值舍去）．．

［或取的中點(diǎn)，連結(jié)，則．易證，，故，．由，易知，．

由，解得．又在中，由勾股定理，得

，（舍去負(fù)值）．］

考點(diǎn)：三角形的相似，圓 的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了圓內(nèi)的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題。