Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b為實數(shù)，a≠0，x∈R）
（1）若函數(shù)f（x）的圖象過點（﹣2，1），且函數(shù)f（x）有且只有一個零點，求f（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，當x∈（﹣1，2）時，g（x）=f（x）﹣kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（﹣2）=1，即4a﹣2b+1=1，所以b=2a

因為函數(shù)f（x）有且只有一個零點，所以△=b2﹣4a=0，

所以4a2﹣4a=0，所以a=1，b=2．

所以f（x）=（x+1）2；

（2）解： ，

由g（x）的圖象知，要滿足題意，

則 或 ，即k≥6或k≤0，

∴所求實數(shù)k的取值范圍為（﹣∞，0]∪[6，+∞）

【解析】（1）由題意可得f（﹣2）=1，函數(shù)f（x）有且只有一個零點，所以△=0，解方程可得a，b，進而得到f（x）的表達式；（2）求出g（x）的表達式，配方，求得對稱軸，討論函數(shù)單調(diào)遞減和遞增，區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，解不等式即可得到所求范圍．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減即可以解答此題．