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        1. 【題目】在三棱錐 中,底面 是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形,頂點(diǎn) 在底面上的射影為的中心,若的中點(diǎn),且直線與底面所成角的正切值為,則三棱錐外接球的表面積為( )

          A. B. C. D.

          【答案】D

          【解析】定點(diǎn)A在底面BCD上的射影為三角形BCD的中心,

          而且底面BCD是正三角形,

          三棱錐A﹣BCD是正三棱錐,∴AB=AC=AD,

          令底面三角形BCD的重心(即中心)為P,

          底面BCD為邊長(zhǎng)為2的正三角形,DEBC邊上的高,

          DE=,PE=,DP=

          直線AE與底面BCD所成角的正切值為2,即

          AP=

          ∵AD2=AP2+DP2(勾股定理),∴AD=2,于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2,

          三棱錐為正四面體,構(gòu)造正方體,由面上的對(duì)角線構(gòu)成正四面體,故正方體的棱長(zhǎng)為,

          正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為,外接球的半徑為.

          外接球的表面積=4πr2=6π.

          故選D.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          D.4

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