Question

已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交于A、B兩點(diǎn)，M是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線MA交直線l：x=9于G點(diǎn)，直線MB交直線l于H點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試探求是否為定值？若是，求出此定值，若不是說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最近距離為2，確定幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，A，B的坐標(biāo)，求出G、H的坐標(biāo)，利用M在橢圓上及向量的數(shù)量積公式，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）由題意得，∴…（2分）
∴b²=a²-c²=8
∴橢圓C的方程為：．…（4分）
（2）設(shè)M，A，B的坐標(biāo)分別為M（x，y）、A（-3，0）、B（3，0），
則直線MA的方程為：…（6分）
令x=9得，同理得．…（8分）
∵M(jìn)在橢圓上，∴，∴．…（10分）
∴．
∴為定值0．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求向量的數(shù)量積是關(guān)鍵．