Question

已知函數(shù)f（x）=x²+|x-1|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）設g（x）=x³-ax（a＜0），若?x₁∈[1，2]，?x₂∈（2，3），使

f(x1)+1

x1

≤g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先去掉絕對值然后再根據(jù)絕對值不等式的解法進行求解．
（2）由于對任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈（2，3），使

f(x1)+1

x1

≤g（x₂），等價于，

f(x1)+1

x1

的最大值不大于g（x₂）的最小值，即3≤8-2a，從而求解．

解答：解：（1）當x≥1時，x²+|x+1|≥1?x²+x-1≥1，
∴（x-1）（x+2）≥0，
解得x≥1或x≤-2，因此x≥1；
當x＜1時，x²+|x-1|≥1?x²-x≥0，解得x≥1或x≤0，因此x≤0，
∴不等式的解集是{x|x≥1或x≤0}．
（2）∵x₁∈[1，2]，∴f（x₁）=（x₁）²+x₁，∴

f(x1)+1

x1

=x1+1≤3，
∵g（x）=3x²-a（a＜0），∴g（x）單調遞增，∴g（x₂）＞8-2a，
由于對任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈（2，3），使

f(x1)+1

x1

≤g（x₂），等價于，

f(x1)+1

x1

的最大值不大于g（x₂）的最小值，即3≤8-2a，∴a≤

5

2

，
故a的取值范圍是（-∞，

5

2

]．

點評：此題考查絕對值不等式的放縮問題及函數(shù)的恒成立問題，運用了分類討論的思想，這類題目是高考的熱點，難度不是很大，要注意仔細計算．