Question

在某批次的某種燈泡中，隨機(jī)地抽取個(gè)樣品，并對(duì)其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下.根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個(gè)等級(jí)，其中壽命大于或等于天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品.

壽命（天）	頻數(shù)	頻率
合計(jì)

（1）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出、的值；
（2）某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購(gòu)買了個(gè)，如果這個(gè)燈泡的等級(jí)情況恰好與按三個(gè)等級(jí)分層抽樣所得的結(jié)果相同，求的最小值；
（3）某人從這個(gè)批次的燈泡中隨機(jī)地購(gòu)買了個(gè)進(jìn)行使用，若以上述頻率作為概率，用表示此人所購(gòu)買的燈泡中次品的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

（1），；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）根據(jù)頻數(shù)之和為以及頻率之和為分別求出、的值；（2）先確定燈泡中優(yōu)等品、正品、次品的個(gè)數(shù)，計(jì)算三者之間的比例，從而確定燈泡數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而確定的最小值；（3）先確定隨機(jī)變量的可能取值，根據(jù)題中條件確定在不同取值下的概率，并列出相應(yīng)的分布列，求出數(shù)學(xué)期望.
試題解析：（1），.
（2）由表可知：燈泡樣品中優(yōu)等品有個(gè)，正品有個(gè)，次品有個(gè)，
所以優(yōu)等品、正品和次品的比例為.
所以按分層抽樣法，購(gòu)買燈泡數(shù)，
所以的最小值為；
（3）的所有取值為.
由題意，購(gòu)買一個(gè)燈泡，且這個(gè)燈泡是次品的概率為，
從本批次燈泡中購(gòu)買個(gè)，可看成次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
所以，
，
，
.
所以隨機(jī)變量的分布列為：
所以的數(shù)學(xué)期望.
（注：寫出，，、、、.請(qǐng)酌情給分）