Question

如圖，兩點(diǎn)分別在射線OS、OT上移動(dòng)，且O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

   （Ⅰ）求m?n的值；

   （Ⅱ）求點(diǎn)P的軌跡C的方程，并說明它表示怎么樣的曲線；

（Ⅲ）若直線l過點(diǎn)E（2，0）交（Ⅱ）中曲線C于M、N兩點(diǎn)（M、N、E三點(diǎn)互不相同），且求l的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得

（Ⅱ）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）（x>0），由得

 

可得

 

∴P點(diǎn)的軌跡方程為

它表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，且實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為4的雙曲線

的右支

（Ⅲ）設(shè)直線l的方程為，將其代入C的方程得

即

易知（否則，直線l的斜率為，它與漸近線平行，不符合題意）

又△144t²－36

設(shè)

∵l與C的兩個(gè)交點(diǎn)M，N在y軸右側(cè)

，

又∵t=0不合題意

又由同理可得

由

由

由

消去

解之得：，滿足

故所求直線l存在，其方程為：