Question

【題目】在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為的正方形,平面PAC⊥底面ABCD，PA=PC=

（1）求證：PB=PD;

（2）若點M,N分別是棱PA,PC的中點,平面DMN與棱PB的交點Q,則在線段BC上是否存在一點H,使得DQ⊥PH,若存在,求BH的長,若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)見解析

【解析】

(1) 記AC∩BD=O，連結(jié)PO，易證PO⊥AC，結(jié)合平面PAC⊥底面ABCD，可得到PO⊥底面ABCD，從而得到PO⊥BD，則有PB=PD；(2) 以O為坐標(biāo)原點，射線OB，OC，OP的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量n，設(shè)，可得到點的坐標(biāo)，即可表示出，由=0，可求出及，設(shè)，可表示出點及，由，可求出，從而可求出。

(1)證明：記AC∩BD=O，連結(jié)PO，

底面ABCD為正方形，OA=OC=OB=OD=2.

PA=PC，PO⊥AC，

平面PAC∩底面ABCD=AC，PO平面PAC，

PO⊥底面ABCD.

BD底面ABCD，PO⊥BD.

PB=PD.

(2)以O為坐標(biāo)原點，射線OB，OC，OP的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由（1）可知OP=2.

可得P(0,0,2)，A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),

可得，M(0,-1,1), N(0,1, 1).，.

設(shè)平面的法向量n=，

，，

令，可得n=.

記，可得，

，=0，可得，，解得.

可得，.

記，可得，

，若DQPH，則，

，解得.故.