Question

已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：
①m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β； 
②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β； 
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n．
其中正確的命題的序號(hào)是（　�。�

A．①③

B．②③

C．①④

D．②④

Answer 1

分析：①分別取直線(xiàn)m、n的方向向量即為平面α、β法向量，而二者垂直，所以二平面亦垂直；
②舉出以下反例：m⊥β時(shí)亦滿(mǎn)足條件，但此時(shí)平面α與β卻相交；
③同②可舉出反例；
④可由m⊥α，α∥β，得出m⊥β，再由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理及n∥β可知，在平面β內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與直線(xiàn)n平行，可得m與這些直線(xiàn)垂直，即可判斷出答案．

解答：解：如圖所示，①∵m⊥α，n⊥β，m⊥n，∴平面α、β的法向量垂直，∴可得出二平面的平面角為直角，則α⊥β，故①正確； 
②若m⊥β時(shí)亦滿(mǎn)足條件，但是α與β相交，即α與β不一定平行，因此②不正確；
③同②可舉出反例，∴③不正確；
④∵m⊥α，α∥β，∴m⊥β．∵n∥β，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可知，在平面β內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與直線(xiàn)n平行，
可得m與這些直線(xiàn)垂直，從而m與n垂直．
綜合以上可知：①④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：理解線(xiàn)面、面面平行與垂直的判斷定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．