Question

【題目】為美化校園，江蘇省淮陰中學將一個半圓形的邊角地改造為花園.如圖所示，O為圓心，半徑為1千米，點A、B、P都在半圓弧上，設∠NOP=∠POA=，∠AOB=，且.

（1）請用分別表示線段NA、BM的長度；

（2）若在花園內鋪設一條參觀線路，由線段NA、AB、BM三部分組成，則當取何值時，參觀線路最長？

（3）若在花園內的扇形ONP和四邊形OMBA內種滿杜鵑花，則當取何值時，杜鵑花的種植總面積最大？

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）

【解析】

（1）利用余弦定理表示，，并用二倍角公式化簡，得答案；

（2）由（1）用表示長度l，利用換元法求得最大值；

（3）由扇形面積和三角形的面積公式，用表示面積S，對S求導，利用導數分析單調性，從而求得最大值.

（1）由余弦定理可知：

因為，所以，所以，；

（2）由題可知AB=NA=，

所以參觀路線的長度=

令,即

當時，取得最大值，此時即時，參觀路線最長

（3）由題可知扇形ONP的面積

三角形AOB的面積

三角形BOM的面積

所以杜鵑花的種植總面積

令得或（舍）

因為，所以，

當時，，S單調遞增；當時，，S單調遞減

所以時，杜鵑花的種植總面積最大