Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，最小值，無(wú)最大值；（2）

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令及求出時(shí)的取值范圍，可得的單調(diào)區(qū)間，及的最值；

（2）設(shè)，即證時(shí)，恒成立，對(duì)求導(dǎo)，分與進(jìn)行討論，可得的取值范圍.

解：（1）由題可知，的定義域?yàn)?/span>，，

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

∴在時(shí)取得最小值，無(wú)最大值.

（2）設(shè)，即證時(shí)，恒成立.

【法一】

①時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，∴恒成立，符合題意.

②時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，有.

ⅰ.即時(shí)，此時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞增，∴恒成立，符合題意.

ⅱ.即時(shí)，，使得，此時(shí)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.

∴，不滿(mǎn)足題意，舍去.

綜上所述，.

【法二】

由，發(fā)現(xiàn)，故時(shí)，恒成立的必要條件是.

而，，即

①時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，∴恒成立，符合題意.

②時(shí)，在時(shí)，，，知.

故在上單調(diào)遞增，恒成立，符合題意.

綜上所述，.