Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點為F，O為坐標(biāo)原點．
（I）求過點O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；
（II）設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，
線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求圓的方程，關(guān)鍵是確定圓的圓心和半徑，因為點O、F都在x軸上，所以圓心必在線段OF的垂直平分線上即在平行于y軸的直線上，結(jié)合圓與左準(zhǔn)線l相切，可求得半徑，進(jìn)而求得圓心坐標(biāo)；
（2）欲求點G橫坐標(biāo)的取值范圍，從函數(shù)思想的角度考慮，先將其表示成某一變量的函數(shù)，后求函數(shù)的值域，這里取直線AB的斜率K為自變量，通過解方程組求得點G橫坐標(biāo)（用k表示），再求其取值范圍．

解答：解：（I）∵a²=2，b²=1，
∴c=1，F(xiàn)（-1，0），l：x=-2．
∵圓過點O、F，
∴圓心M在直線x=-

1

2

上．
設(shè)M(-

1

2

，t)，則圓半徑r=|(-

1

2

)-(-2)|=

3

2

．
由|OM|=r，得

(- 1 2 )2+t2

=

3

2

，
解得t=±

2

．
∴所求圓的方程為(x+

1

2

)2+(y±

2

)2=

9

4

．

（II）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直線AB過橢圓的左焦點F，∴方程有兩個不等實根．
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點N（x₀，y₀），
則x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x0=-

2k2

2k2+1

，y0=k(x0+1)=

k

2k2+1

∴AB的垂直平分線NG的方程為y-y0=-

1

k

(x-x0)．
令y=0，得xG=x0+ky0=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

．
∵k≠0，∴-

1

2

＜xG＜0，
∴點G橫坐標(biāo)的取值范圍為(-

1

2

，0)．

點評：本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，通常是先聯(lián)立組成方程組，消去x（或y），得到y(tǒng)（或x）的方程．我們在研究圓錐曲線時，經(jīng)常涉及到直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究．主要涉及到：交點問題、弦長問題、弦中點（中點弦）等問題，常用的方法：聯(lián)立方程組，借助于判別式，數(shù)形結(jié)合法等．