Question

拋物線C的頂點在原點，焦點F與雙曲線

x2

3

-

y2

6

=1的右焦點重合，過點P（2，0）且斜率為1的直線l與拋物線C交于A、B兩點．
（1）求弦長|AB|；
（2）求弦AB中點到拋物線準(zhǔn)線的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意可得F（3，0），從而可得拋物線的方程，及過點P得直線方程，聯(lián)立方程

y=x-2 y2=12x

可得x²-16x+4=0
AB=

2[(x1+x2)2-4x1x2 ]

，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入即可求解
（2）設(shè)AB得中點為M（x₀，y₀），分別過點AMB做準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，M′，B′，由梯形得性質(zhì)可得，MM′=

1

2

(AA′+BB′)=（x₁+3+x₂+3）×

1

2

，結(jié)合（1）可求

解答：解：（1）由題意可得雙曲線的右焦點（3，0），故F（3，0）
∴拋物線的方程為y²=12x，過點P得直線方程為y=x-2
聯(lián)立方程

y=x-2 y2=12x

可得x²-16x+4=0設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=16，x₁x₂=4
AB=

2[(x1+x2)2-4x1x2 ]

=

2(256-16)

=4

30

（2）設(shè)AB得中點為M（x₀，y₀）
分別過點AMB做準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，M′，B′，
則由梯形得性質(zhì)可得，MM′=

1

2

(AA′+BB′)=（x₁+3+x₂+3）×

1

2

=

1

2

× 22=11

點評：本題考查了由拋物線的性質(zhì)求解拋物線的方程，關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用方程的根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式AB=

2[(x1+x2)2-4x1x2 ]

進(jìn)行求解．