Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點為（0，1），點P（0，m）（m≠0）．
（1）求拋物線的方程；
（2）設過點P且斜率為1的直線交拋物線C于A、B兩點，點P關于原點的對稱點Q，若m＜0，求使得△QAB面積最大的m的值；
（3）設過P點的直線交拋物線C于M、N兩點，是否存在這樣的點P，使得

1

|PM|

+

1

|PN|

為定值？若存在，求點P的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設拋物線C的方程是x²=ay，根據(jù)焦點為F的坐標求得a，進而可得拋物線的方程．
（2）y=x+m代入x²=4y，得x²-4x-4m=0，|AB|=

2

|x2-x1|  =4

2(1+m)

，S△QAB=-4m

m+1

=4

m3+m2

(m＜0)，由此知當m=-

2

3

時，S_△QAB有最大值．
（3）假設存在這樣的點P，設直線MN的方程為y=kx+m，代入方程，得x²-4kx-4m=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△＞0，k²+m＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，由此能夠推導出m=1時，

1

|PM|

+

1

|PN|

為定值，存在點P（0，1）．

解答：解：（1）設拋物線C的方程是x²=ay，
則

a

4

=1，
即a=4．
故所求拋物線C的方程為x²=4y．
（2）y=x+m代入x²=4y，得
x²-4x-4m=0，
|AB|=

2

|x2-x1|  =4

2(1+m)

，
∴S△QAB=-4m

m+1

=4

m3+m2

(m＜0)

m	m＜- 2 3	- 2 3	- 2 3 ＜m＜0
3m2+2m	+	0	-

∴當m=-

2

3

時，S_△QAB有最大值．
（3）假設存在這樣的點P，設直線MN的方程為y=kx+m，
代入方程，得x²-4kx-4m=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△＞0，k²+m＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
①當m＜0時，

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

1+k2

（

1

|x1|

+

1

|x2|

）=

|4k|

-4m 1+k2

不是定值．
②當m＞0時，

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

1+k2

|x1-x2|

|x1x2|

=

|x1-x2|

|x1x2|

=

m+k2

m 1+k2

，
在上式中，令k=0，1，得

m

= 

m+1 2

，m=1，
∴m=1時，

1

|PM|

+

1

|PN|

為定值，
存在點P（0，1）．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．