Question

球O的球面上有四點(diǎn)S，A，B，C，其中O，A，B，C四點(diǎn)共面，△ABC是邊長(zhǎng)為2

3

的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S-ABC的體積的最大值為（　　）

• A、3
• B、3

  5

• C、

  5

• D、

  3 5

  2

Answer 1

分析：由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影H落在AB上，根據(jù)球體的對(duì)稱性可知，當(dāng)S在“最高點(diǎn)”，也就是說H為AB中點(diǎn)時(shí)，SH最大，棱錐S-ABC的體積最大．

解答：解：由題意畫出幾何體的圖形如圖
由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影H落在AB上，根據(jù)球體的對(duì)稱性可知，
當(dāng)S在“最高點(diǎn)”，也就是說H為AB中點(diǎn)時(shí)，SH最大，棱錐S-ABC的體積最大．
∵△ABC是邊長(zhǎng)為2

3

的正三角形，
∴球的半徑r=OC=

2

3

CH=

2

3

×

3

2

×2

3

=2，
在RT△SHO中，OH=

1

2

OC=

1

2

OS=1，
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=

3

，
∴體積V=

1

3

Sh=

1

3

×

1

2

×2

3

×2

3

×

3

2

×

3

=3．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查錐體體積計(jì)算，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定出S位置是關(guān)鍵．考查空間想象能力、計(jì)算能力．