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        1. 已知數(shù)列{ a n}的各項都是正數(shù),且滿足:a0=1,an+1=an·(4-an)(n∈N).

          證明:an<an+1<2(n∈N).

          證明略


          解析:

          證明  方法一  用數(shù)學(xué)歸納法證明:

          (1)當(dāng)n=0時,a0=1,a1=a0(4-a0)=,

          所以a0<a1<2,命題正確.

          (2)假設(shè)n=k時命題成立,即ak-1<ak<2.

          則當(dāng)n=k+1時,ak-ak+1?

          =ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)

          =2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)

          = (ak-1-ak)(4-ak-1-ak).

          而ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0,所以ak-ak+1<0.

          又ak+1=ak(4-ak)=[4-(ak-2)2]<2.

          所以n=k+1時命題成立.

          由(1)(2)可知,對一切n∈N時有an<an+1<2.

          方法二  用數(shù)學(xué)歸納法證明:

          (1)當(dāng)n=0時,a0=1,a1=a0(4-a0)= ,

          所以0<a0<a1<2;

          (2)假設(shè)n=k時有ak-1<ak<2成立,

          令f(x)= x(4-x),f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,

          所以由假設(shè)有:f(ak-1)<f(ak)<f(2),

          ak-1(4-ak-1)<ak(4-ak)<×2×(4-2),

          也即當(dāng)n=k+1時,ak<ak+1<2成立.

          所以對一切n∈N,有ak<ak+1<2.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          11、已知數(shù)列{an}(n≥1)滿足an+2=an+1-an,且a2=1.若數(shù)列的前2011項之和為2012,則前2012項的和等于( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列的前n項和為Sn=4n2+1,則a1和a10的值分別為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•煙臺一模)已知數(shù)列{an}(n∈N*)是各項均為正數(shù)且公比不等于1的等比數(shù)列,對于函數(shù)y=f(x),若數(shù)列{1nf(an)}為等差數(shù)列,則稱函數(shù)f(x)為“保比差數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(0,+∞)上的三個函數(shù):①f(x)=
          1
          x
          ;②f(x)=ex   ③f(x)=
          x
          ,則為“保比差數(shù)列函數(shù)”的是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•青島一模)已知數(shù)列{an} (n∈N*)是首項為a,公比為q≠0的等比數(shù)列,Sn是數(shù)列{an} 的前n項和,已知12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列.
          (Ⅰ)當(dāng)公比q取何值時,使得a1,2a7,3a4成等差數(shù)列;
          (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}前n項的和為Sn,前n項的積為Tn,且滿足Tn=2n(1-n)
          ①求a1;
          ②求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
          ③是否存在常數(shù)a,使得(Sn+1-a)2=(Sn+2-a)(Sn-a)對n∈N+都成立?若存在,求出a,若不存在,說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案