Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且恰為等比數(shù)列的前三項(xiàng).
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

（1）見解析； （2）.

解析試題分析：（1）根據(jù)遞推關(guān)系式得，結(jié)合恰為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，得到結(jié)論. （2）先由得到，兩式相減，利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和. 所以. 
（1）當(dāng)時(shí)，，則，
于是，而，，故，                       2分
所以時(shí)，為公差為2的等差數(shù)列，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cd/b/1mutn2.png" style="vertical-align:middle;" />恰為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，所以
即，解得，                              3分
由條件知，則，                                   4分
于是，
所以為首項(xiàng)是1，公差為2的等差數(shù)列；                          6分
（2）由（1）知，                                 8分
，
兩邊同乘以3得，
，                     9分
兩式相減得

，                  12分
所以.                                            13分
考點(diǎn)：遞推關(guān)系式；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)位相減法.