Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：（m＞0）的離心率為，A，B分別為橢圓的左、右頂點，F(xiàn)是其右焦點，P是橢圓C上異于A、B的動點．

（1）求m的值及橢圓的準線方程；

（2）設(shè)過點B且與x軸的垂直的直線交AP于點D，當(dāng)直線AP繞點A轉(zhuǎn)動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1），準線為；（2）見解析

【解析】試題分析：1）利用橢圓的離心率求出 ，即可頂點橢圓方程．

（2）設(shè)．不妨設(shè)，①若，求出方程為方程為 ，然后判斷以為直徑的圓的圓心，半徑為1與直線相切；②若 則 方程為，然后判斷以為直徑的圓與直線相切．

試題解析：（1）因為橢圓的離心率為．所以，解得m=9，所以橢圓的方程為，準線方程為

（2）由題可知A（﹣5，0），B（5，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)P（x0，y0），由橢圓的對稱性，不妨設(shè)y0＞0，①若x0=4，則，PF方程為x=4，AP方程為，D（5，2），以BD為直徑的圓的圓心（5，1），半徑為1與直線PF相切；②若x0≠4，則AP方程為，令x=5，得，則，以BD為直徑的圓的圓心，半徑為，直線PF方程為，即y0x﹣（x0﹣4）y﹣4y0=0，圓心M到直線PF的距離 ，所以圓M與直線PF相切，綜上所述，當(dāng)直線AP繞點A轉(zhuǎn)動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切．