Question

已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,2)，相鄰兩條對稱軸間的距離為2，且的最大值為2.

（Ⅰ）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）計(jì)算；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的零點(diǎn)情況.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）見解析（Ⅲ）

【解析】(I)根據(jù)題目給的條件可A=2，T=4，可得,再根據(jù)圖像過點(diǎn)（1，2），

可求出.從而確定f(x)的表達(dá)式進(jìn)而可求出其單調(diào)增區(qū)間.

，

由于的最大值為2且A>0，

 ∴ 所以即A=2

∴，又函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,2)則

 

 ∴

由得

∴的單調(diào)增區(qū)間是

 (II)由于周期為4,所以只需要求出f(1),f(2),f(3),f(4)的值，然后即可知.

由（Ⅰ）知，

∴的周期為4，而2012=4×503

且

∴原式

 (III)解本小題的關(guān)鍵是知道

函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個數(shù).然后分別作出其圖像，從圖像上觀察得到結(jié)論即可.

函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個數(shù).

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象(如下圖所示)，

由圖象可知:

1） 當(dāng)或時，函數(shù)的圖象與直線無公共點(diǎn)，即函數(shù)無零點(diǎn)；

2） 當(dāng)或時，函數(shù)的圖象與

直線有一個公共點(diǎn)，即函數(shù)有一個零點(diǎn)；

3） 當(dāng)時，函數(shù)的圖象與

直線有兩個公共點(diǎn)，即函數(shù)有兩個零點(diǎn).