Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，，AA₁=6，E，F(xiàn)分別為AA₁與BC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥底面ABC；
（2）求平面EBC₁與底面ABC所成的銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC的中點(diǎn)D，連AD、DF，結(jié)合F為BC₁的中點(diǎn)，可得四邊形EADF為平行四邊形；即可得到EF∥AD，進(jìn)而求出結(jié)論；
（2）取CC₁的中點(diǎn)M，連EM、FM，可以先證得平面EFM∥底面ABC進(jìn)而得平面EBC₁與底面所成的銳二面角等于平面EBC₁與平面EFM所成的銳二面角；再作MN⊥EF于N，連C₁N，則EF⊥C₁N，∠C₁NM為平面EBC₁與平面EFM所成的銳二面角的平面角，通過(guò)求其邊長(zhǎng)即可求出結(jié)論．
解答：解：（1）取BC的中點(diǎn)D，連AD、DF
∵F為BC₁的中點(diǎn)，
∴，
∴四邊形EADF為平行四邊形．
∴EF∥AD，又AD在底面ABC上，EF不在底面ABC上
∴EF∥底面ABC．
（2）取CC₁的中點(diǎn)M，連EM、FM，
則EM∥AC，F(xiàn)M∥BC，
即平面EFM內(nèi)的兩條相交直線與底面ABC內(nèi)的兩條相交直線分別平行，
∴平面EFM∥底面ABC．
∴平面EBC₁與底面所成的銳二面角等于平面EBC₁與平面EFM所成的銳二面角．
作MN⊥EF于N，連C₁N，則EF⊥C₁N，∠C₁NM為平面EBC₁與平面EFM所成的銳二面角的平面角．
在Rt△EMF中，，，
∴．又C₁M=3，
∴在△C₁NM中，
∴∠C₁NM=60°，
即所求銳二面角的大小為60°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．解決問(wèn)題得關(guān)鍵在于把平面EBC₁與底面所成的銳二面角轉(zhuǎn)化為平面EBC₁與平面EFM所成的銳二面角．