Question

在135°的二面角α-AB-β內(nèi)有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到兩個(gè)面α、β的距離分別為和3,則點(diǎn)P到棱AB的距離為(    )

A.                 B.               C.                D.

 

 

Answer 1

解析:如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥α于點(diǎn)E，PF⊥β于點(diǎn)F，則PE=，PF=3.

∵α∩β=AB,PE⊥α,PF⊥β,

∴AB⊥PE,AB⊥PF.

又PE∩PF=P，∴AB⊥平面PEF.

設(shè)AB∩平面PEF=H，連結(jié)EH、FH、PH、EF，則∠EHF為二面角αABβ的平面角，PH⊥AB,

即∠EHF=135°，PH長(zhǎng)就是所求.

∵PE⊥α,PF⊥β,∴PE⊥EH,PF⊥FH.

從而P、E、H、F四點(diǎn)共圓.

∴∠FPE=180°-∠FHE=180°-135°=45°,并且PH為這個(gè)圓的直徑.

在△PEF中，由余弦定理，得

EF=.

在△EPF中，由正弦定理，得

PH=

因此點(diǎn)P到棱AB的距離為.

答案:D