Question

（2012•徐匯區(qū)一模）對(duì)定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D和常數(shù)C，使得對(duì)任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且對(duì)任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“U型”函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函數(shù)；
（2）設(shè)f（x）是（1）中的“U型”函數(shù)，若不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）對(duì)一切的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=mx+

x2+2x+n

是區(qū)間[-2，+∞）上的“U型”函數(shù)，求實(shí)數(shù)m和n的值．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于函數(shù)f₁（x）=|x-1|+|x-3|，欲判斷其是否是“U型”函數(shù)，只須f₁（x）＞=2是否恒成立，利用去絕對(duì)值符號(hào)后即可證得；
（2）不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，等價(jià)于|t-1|+|t-2|≤f（x）_min，等價(jià)于|t-1|+|t-2|≤2，從而可求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）函數(shù)g（x）=mx+

x2+2x+n

是區(qū)間[-2，+∞）上的“U型”函數(shù)，等價(jià)于x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²對(duì)任意的x∈[a，b]成立，利用恒等關(guān)系，可得到關(guān)于m，n，c的方程，解出它們的值，最后通過(guò)驗(yàn)證g（x）是區(qū)間[-2，+∞）上的“U型”函數(shù)即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f₁（x）=x-1+3-x=2，
當(dāng)x∉[1，3]時(shí)，f₁（x）=|x-1|+|x-3|＞|x-1+3-x|=2
故存在閉區(qū)間[a，b]=[1，3]⊆R和常數(shù)C=2符合條件，…（4分）
所以函數(shù)f₁（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函數(shù)…（5分）
（2）因?yàn)椴坏仁絴t-1|+|t-2|≤f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，
所以|t-1|+|t-2|≤f（x）_min…（7分）
由（1）可知f（x）_min=（|x-1|+|x-3|）_min=2…（8分）
所以|t-1|+|t-2|≤2…（9分）
解得：

1

2

≤t≤

5

2

…（11分）
（3）由“U型”函數(shù)定義知，存在閉區(qū)間[a，b]⊆[-2，+∞）和常數(shù)c，使得對(duì)任意的x∈[a，b]，
都有g(shù)（x）=mx+

x2+2x+n

=c，即

x2+2x+n

=c-mx
所以x²+2x+n=（c-mx）²恒成立，即x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²對(duì)任意的x∈[a，b]成立…（13分）
所以

m2=1 -2cm=2 c2=n

，所以

m=1 c=-1 n=1

或

m=-1 c=1 n=1

…（14分）
①當(dāng)

m=1 c=-1 n=1

時(shí)，g（x）=x+|x+1|．
當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)，g（x）=-1，當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
此時(shí)，g（x）是區(qū)間[-2，+∞）上的“U型”函數(shù)…（16分）
②當(dāng)

m=-1 c=1 n=1

時(shí)，g（x）=-x+|x+1|．
當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)，g（x）=-2x-1≥1，當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，g（x）=1．
此時(shí)，g（x）不是區(qū)間[-2，+∞）上的“U型”函數(shù)．（12分）
綜上分析，m=1，n=1為所求…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是利用恒成立結(jié)論等式，從而可得參數(shù)的值，屬于難題．