Question

已知函數(shù)f（x）=

x x為有理數(shù) 1-x x為無理數(shù)

函數(shù)f（x）在哪點(diǎn)連續(xù)（　　）

• A、處處連續(xù)
• B、x=1
• C、x=0
• D、x=

  1

  2

Answer 1

分析：本題要求從四個(gè)選項(xiàng)中找出函數(shù)在那個(gè)點(diǎn)處連續(xù)，由于函數(shù)的形式復(fù)雜，故求解本題時(shí)宜采用逐一驗(yàn)證排除法選出正確選項(xiàng)．

解答：解：對于選項(xiàng)A，由于f（x）=

x x為有理數(shù) 1-x x為無理數(shù)

，由定義知不可能處處連續(xù)，故A不對；
對于選項(xiàng)B，x=1左右兩側(cè)函數(shù)的極限一正一負(fù)，不可能相等，故B不對；
對于選項(xiàng)C，左側(cè)函數(shù)極限為負(fù)，右側(cè)函數(shù)極限為1，故在x=0處不連續(xù)；
對于選項(xiàng)D，由于

lim

x→ 1 2 +

f（x）=

lim

x→ 1 2 -

f（x）=f（

1

2

）．
故D正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的連續(xù)性，考查由函數(shù)的連續(xù)性得到參數(shù)的方程求參數(shù)，函數(shù)連續(xù)性的定義是：如果函數(shù)在某點(diǎn)處的左極限與右極限相等且等于該點(diǎn)處的函數(shù)值，則稱此函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)．本題函數(shù)連續(xù)點(diǎn)甚少，故采取了逐一驗(yàn)證方法找出正確答案，在做選擇題時(shí)要充分利用選項(xiàng)所提供的信息來幫助尋找出正確選項(xiàng)．