Question

已知圓C的方程為：x²+y²+2x-4y-20=0，
（1）若直線l₁過點(diǎn)A（2，-2）且與圓C相切，求直線l₁的方程；
（2）若直線l₂過點(diǎn)B（-4，0）且與圓C相交所得的弦長為8，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）先判斷點(diǎn)A位置，因?yàn)锳點(diǎn)滿足圓方程，所以A點(diǎn)在圓上，則圓心與A點(diǎn)連線垂直于切線，只需求出圓心與A點(diǎn)連線的斜率，切線斜率就可求出，再用點(diǎn)斜式寫出方程即可．
（2）在圓中，半徑，半弦，弦心距構(gòu)成直角三角形，因?yàn)閳A的半徑和半弦已知，利用勾股定理就可求出圓心到直線l₂的距離，再分斜率存在和不存在兩種情況設(shè)出直線l₂的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出參數(shù)的值，就可得到直線l₂的方程．

解答：解：圓C的方程化為：（x+1）²+（y-2）²=25，圓心C（-1，2），半徑r=5，
（1）易知A（2，-2）在圓C上，則l₁⊥AC，可求得k_AC=-

4

3

，∴kl1=

3

4

；
則直線l₁的方程為：y+2=

3

4

（x-2）．即3x-4y-14=0 
（2）設(shè)圓心到直線l₂的距離為d，
∵弦長為8，又圓的半徑r=5，∴d=3
①若l₂斜率不存在，∵過點(diǎn)B（-4，0），即l₂方程為x=-4，
此時(shí) 圓心C（-1，2）到l₂的距離為3，所以方程x=-4符合題意； 
②若l₂斜率存在，∵過點(diǎn)B（-4，0），
設(shè)l₂方程為y=k（x+4），即kx-y+4k=0，
∵圓心C（-1，2）到l₂的距離為3，
∴

|-k-2+4k|

k2+1

=3，解得k=-

5

12

此時(shí)l₂方程為：5x+12y+20=0
綜上得直線l₂方程為：x+4=0或5x+12y+20=0；

點(diǎn)評：本題主要考查了已知切點(diǎn)坐標(biāo)求切線方程，圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．屬于綜合題．