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        1. 【題目】如圖,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面 , , 中點(diǎn).

          (Ⅰ)求證: 平面;

          (Ⅱ)求二面角的余弦值;

          (Ⅲ)在棱上是否存在點(diǎn),使得?若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.

          【答案】(I)詳見(jiàn)解析;(II);(III).

          【解析】試題分析:

          (1)利用題意證得,然后由線面平行的判斷定理可得平面.

          (2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面向量的法向量可得二面角的余弦值為.

          (3)探索性問(wèn)題,利用空間向量的結(jié)論可得在棱上存在點(diǎn),使得,

          此時(shí)

          試題解析:

          (Ⅰ)證明:設(shè)的交點(diǎn)為,連接.

          因?yàn)?/span>為矩形,所以的中點(diǎn),

          中,由已知中點(diǎn),

          所以,

          平面, 平面,

          所以平面.

          (Ⅱ)解:取中點(diǎn),連接.

          因?yàn)?/span>是等腰三角形, 的中點(diǎn),

          所以,

          又因?yàn)槠矫?/span>平面,

          因?yàn)?/span>平面,

          所以平面

          中點(diǎn),連接

          由題設(shè)知四邊形為矩形,

          所以,

          所以. 

          如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則 , , , , ., .

          設(shè)平面的法向量為,則

          ,則, ,所以.

          平面的法向量為,

          設(shè), 的夾角為,所以.

          由圖可知二面角為銳角,

          所以二面角的余弦值為.

          (Ⅲ)設(shè)是棱上一點(diǎn),則存在使得

          因此點(diǎn), ,

          ,即

          因?yàn)?/span>,所以在棱上存在點(diǎn),使得,

          此時(shí)

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