Question

【題目】如圖，已知頂點(diǎn)，，動點(diǎn)分別在軸，軸上移動，延長至點(diǎn)，使得，且.

（1）求動點(diǎn)的軌跡；

（2）過點(diǎn)分別作直線交曲線于兩點(diǎn)，若直線的傾斜角互補(bǔ)，證明：直線的斜率為定值；

（3）過點(diǎn)分別作直線交曲線于兩點(diǎn)，若，直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)，若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)M,P,Q的坐標(biāo),將向量進(jìn)行坐標(biāo)化，整理即可得軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，直線的傾斜角互補(bǔ)，則兩直線斜率互為相反數(shù)，用斜率公式計(jì)算得到，即可計(jì)算kAB；（3）若，由兩直線斜率積為-1，可得到關(guān)于與的等量關(guān)系，寫出直線AB 的方程，將等量關(guān)系代入直線方程整理可得直線AB經(jīng)過的定點(diǎn)．

（1）設(shè)，，.

由，得，即.

因?yàn)?/span>，所以，所以.

所以動點(diǎn)的軌跡為拋物線，其方程為.

（2）證明：設(shè)點(diǎn)，，

若直線的傾斜角互補(bǔ)，則兩直線斜率互為相反數(shù)，

又，，所以，

，整理得，

所以.

（3）因?yàn)?/span>，

所以，

即，①

直線的方程為：，

整理得：，②

將①代入②得，即，

當(dāng)時(shí)，

即直線經(jīng)過定點(diǎn).