Question

如圖所示,D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且不與△ABC的頂點(diǎn)重合.已知AE的長(zhǎng)為m,AC的長(zhǎng)為n,AD,AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-14x+mn=0的兩個(gè)根.

(1)證明:C,B,D,E四點(diǎn)共圓;

(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑.

 

Answer 1

【答案】

(1)見(jiàn)解析   (2) 5

【解析】

(1)證明:連接DE,根據(jù)題意在△ADE和△ACB中,

AD·AB=mn=AE·AC,

即=.

又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB,

因此∠ADE=∠ACB,

∴∠ACB+∠EDB=180°,

∴C、B、D、E四點(diǎn)共圓.

(2)解:m=4,n=6時(shí),方程x²-14x+mn=0的兩根為x₁=2,x₂=12,故AD=2,AB=12.

取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F,分別過(guò)G、F作AC、AB的垂線(xiàn),兩垂線(xiàn)相交于H點(diǎn),連接DH.

因?yàn)镃、B、D、E四點(diǎn)共圓,

∴C、B、D、E四點(diǎn)所在圓的圓心為H,半徑為DH.

由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,

從而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5,

故C、B、D、E四點(diǎn)所在圓的半徑為5.