Question

給出下列4個(gè)命題：
①0＜a≤是f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件；
②函數(shù)f（x）=（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的最小值為2；
③y=f（x）與它的反函數(shù)y=f^-1（x）的圖象若相交，則交點(diǎn)必在直線y=x上；
④若α∈（π，），則＞1+tanα＞；
其中所有假命題的代號(hào)有    ．

Answer 1

【答案】分析：①由函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)，分a=0和a＞0兩種情況來討論，可求得，由此可知①是假命題；
②由均值不等式可判斷出不存在實(shí)數(shù)x使得等號(hào)成立，故函數(shù)f（x）不存在最小值；
③舉反例：如指數(shù)函數(shù)的圖象與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)有P（，）、Q（，）就是不在直線y=x上的兩個(gè)交點(diǎn)，由此可知原結(jié)論不正確；
④由α∈（π，），可知0＜tanα＜1，可得（1-tanα）（1+tan）=1-tan²α＜1，于是；再根據(jù)均值不等式可得．
故④是真命題．
解答：解：①由函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)，可得a=0或即，據(jù)此可知是函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)的充分不必要條件，因此①是假命題；
②由均值不等式函數(shù)f（x）==≥2，由e^-x+2=1知不存在實(shí)數(shù)x使得等號(hào)成立，故函數(shù)f（x）不存在最小值；
③舉例：如指數(shù)函數(shù)的圖象與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)有P（，）、Q（，）就是不在直線y=x上的兩個(gè)交點(diǎn)，由此可知原結(jié)論不正確；
④∵α∈（π，），∴0＜tanα＜1，∴1-tanα＞0，（1-tanα）（1+tanα）=1-tan²α＜1，＞1+tanα＞．
故假命題是①②③．
故答案為①②③．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值，均值不等式，反函數(shù)等有關(guān)知識(shí)．