Question

（本題滿分10分）

如圖，已知拋物線M：的準(zhǔn)線為，N為上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，再分別過A、B兩點(diǎn)作的垂線，垂足分別為C，D。

求證：直線AB必經(jīng)過y軸上的一個定點(diǎn)Q，并寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

若的面積成等差數(shù)列，求此時點(diǎn)N的坐標(biāo)。

Answer 1

【必做題】

解法一：（1）因?yàn)閽佄锞�的準(zhǔn)線的方程為，

所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

，，則，，

 由，得，求導(dǎo)數(shù)得，于是，

即，化簡得，

同理可得，

所以和是關(guān)于的方程

兩個實(shí)數(shù)根，所以，

且．

在直線的方程中，

令，得=為定值，

所以直線必經(jīng)過軸上的一個定點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)．……………………………5分

(2)由（1）知，所以為線段的中點(diǎn)，取線段的中點(diǎn)，

因?yàn)?sub>是拋物線的焦點(diǎn)，所以，所以，

所以

，

又因?yàn)?sub>，，

所以，，成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，

即成等差數(shù)列，所以，，

所以，，

時，，，

時，，，

所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為．………………………………………………………………10分

解法二：（1）因?yàn)橐阎獟佄锞�的準(zhǔn)線的方程為，所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則，，

設(shè)過點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得，

因?yàn)橹本�與拋物線相切，所以，即，解得，此時兩切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，

在直線的方程中，令得

=為定值，

所以直線必經(jīng)過軸上的一個定點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)．……………………………5分

（2）由（1）知兩切線的斜率分別為，則，所以，

連接，則直線斜率為，

又因?yàn)橹本�的斜率，

所以，

所以，又因?yàn)?sub>，所以，

所以和的面積成等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，

所以成等差數(shù)列，所以，，

所以，，

時，，，

時，，，

所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為．  …………………………………………………………10分

（以上各題如考生另有解法，請參照本評分標(biāo)準(zhǔn)給分）