Question

在體積為4

3

π的球的表面上有A，B，C三點，AB=1，BC=

2

，A，C兩點的球面距離為

3

3

π，則球心到平面ABC的距離為

 

．

Answer 1

分析：根據球的體積，首先就要先計算出球的半徑．再根據A、C兩點的球面距離，可求得

AC

所對的圓心角的度數，進而根據余弦定理可得線段AC的長度為

3

，所以△ABC為直角三角形，所以線段AC的中點即為ABC所在平面的小圓圓心，進而可得球心到平面ABC的距離．

解答：解析：設球的半徑為R，則V=

4

3

πR3=4

3

π，
∴R=

3

.
設A、C兩點對球心張角為θ，則

AC

=Rθ=

3

θ=

3

3

π，
∴θ=

π

3

，
∴由余弦定理可得：AC=

3

，
∴AC為ABC所在平面的小圓的直徑，
∴∠ABC=90°，
設ABC所在平面的小圓圓心為O'，則球心到平面ABC的距離為d=OO'=

R2-BO′2

=

3-( 3 2 )2

=

3

2

.

點評：本小題主要考查立體幾何球面距離及點到面的距離．