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        1. 已知函數(shù)f(x)在其定義域上滿足:xf(x)+2af(x)=x+a-1,a>0.
          ①函數(shù)y=f(x)的圖象是否是中學(xué)對(duì)稱圖形?若是,請(qǐng)指出其對(duì)稱中心(不證明);
          ②當(dāng)f(x)∈[
          1
          2
          ,
          4
          5
          ]
          時(shí),求x的取值范圍;
          ③若f(0)=0,數(shù)列{an}滿足a1=1,那么若0<an+1≤f(an)正整數(shù)N滿足n>N時(shí),對(duì)所有適合上述條件的數(shù)列{an},an
          1
          10
          恒成立,求最小的N.
          分析:①化簡(jiǎn)函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式,通過反比例函數(shù)判斷函數(shù)的圖象是對(duì)稱圖形,直接指出其對(duì)稱中心;
          ②通過f(x)∈[
          1
          2
          ,
          4
          5
          ]
          ,轉(zhuǎn)化分式不等式與不等式組的形式,然后求x的取值范圍;
          ③利用f(0)=0,推出a=1,求出函數(shù)的表達(dá)式,通過0<an+1≤f(an)構(gòu)造bn=
          1
          an
          +1
          ,推出an
          1
          2n-1
          ,結(jié)合an
          1
          10
          恒成立,可求n的最小值,即可求最小的N.
          解答:解:①∵xf(x)+2af(x)=x+a-1
          ∴(x+2a)f(x)=x+a-1.若x=-2a時(shí),則a=-1,與a>0矛盾
          ∴x≠-2a,∴f(x)=
          x+a-1
          x+2a
          =1-
          a+1
          x+2a
          (x≠-2a)
          ∴f(x)是中心對(duì)稱圖形,對(duì)稱中心為(-2a,1)
          ②∵f(x)∈[
          1
          2
          ,
          4
          5
          ],
          1
          2
          x+a-1
          x+2a
          4
          5
          x+a-1
          x+2a
          1
          2
          x+a-1
          x+2a
          4
          5
          x-2
          x+2a
          ≥0
          x-3a-5
          x+2a
          ≤0

          又a>0,所以
          x<-2a或x≥2
          -2a<x≤3a+5
          ⇒2≤x≤3a+5
          ③∵f(0)=0,∴a=1,∴f(x)=
          x
          x+2

          由0<an+1≤f(an)⇒
          1
          an+1
          ≥2×
          1
          an
          +1
          ,即
          1
          an+1
          +1≥2(
          1
          an
          +1)
          ,令bn=
          1
          an
          +1

          ∴bn+1≤bn,又an>0,∴
          bn+1
          bb
          ≥2
          ,又a1=1,∴b1=2
          當(dāng)n≥2,bn=b1×
          b2
          b1
          ×
          b3
          b2
          ×…×
          bn
          bn-1
          ≥2×2×2×…×2=2n

          (或bn≥2bn-122bn-223bn-3≥…≥2n-1b1=2n
          又∵b1=1也符合,bn2n,∴bn2n(n∈N*
          1
          an
          +1≥2nan
          1
          2n-1
          ,(n∈N*
          要使an
          1
          10
          恒成立,只需
          1
          2n-1
          1
          10
          即2n>11.
          ∴n>3.
          所以N=3
          點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,函數(shù)的值域的應(yīng)用,不等式組的解法,數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.
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          已知函數(shù)f(x)在其定義域M內(nèi)為減函數(shù),且f(x)>0,證明g(x)=1+
          2f(x)
          在M內(nèi)為增函數(shù).

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          已知函數(shù)f(x)在其定義域上滿足xf(x)+2af(x)=x+a-1(a>0).
          (1)函數(shù)y=f(x)的圖象是否是中心對(duì)稱圖形?若是,請(qǐng)指出其對(duì)稱中心(不證明);
          (2)當(dāng)f(x)∈[
          1
          2
          ,
          4
          5
          ]
          時(shí),求x的取值范圍;
          (3)若f(0)=0,數(shù)列{an}滿足a1=1,那么:
          ①若0<an+1≤f(an),正整數(shù)N滿足n>N時(shí),對(duì)所有適合上述條件的數(shù)列{an},an
          1
          10
          恒成立,求最小的N;
          ②若an+1=f(an),求證:a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1
          3
          7

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

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          已知函數(shù)f(x)在其定義域上滿足xf(x)+2af(x)=x+a-1(a>0).
          (1)函數(shù)y=f(x)的圖象是否是中心對(duì)稱圖形?若是,請(qǐng)指出其對(duì)稱中心(不證明);
          (2)當(dāng)時(shí),求x的取值范圍;
          (3)若f(0)=0,數(shù)列{an}滿足a1=1,那么:
          ①若0<an+1≤f(an),正整數(shù)N滿足n>N時(shí),對(duì)所有適合上述條件的數(shù)列{an},恒成立,求最小的N;
          ②若an+1=f(an),求證:

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