Question

已知向量

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)
（1）當(dāng)

a

⊥

b

時，求x的取值集合
（2）求函數(shù)f(x)=

a

•(

b

-

a

)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積，結(jié)合

a

⊥

b

時，數(shù)量積為0，求出x的取值集合
（2）化簡函數(shù)f(x)=

a

•(

b

-

a

)的表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）向量

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)，又∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，
故sinxcosx-

1

2

=0，即sin2x=1，所以2x=2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得x=kπ+

π

4

，k∈Z，
x的取值集合{x|x=kπ+

π

4

，k∈Z}
（2）∵f(x)=

a

•(

b

-

a

)=sinxcosx-sin²x-

3

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）-2
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

    k∈Z
時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

   k∈Z
函數(shù)f(x)=

a

•(

b

-

a

)的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]   k∈Z．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，三角函數(shù)的單調(diào)性，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計算能力，�？碱}型．