Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線交橢圓于兩點(diǎn)，.

（1）若，且點(diǎn)滿足，證明：點(diǎn)不在橢圓上；

（2）若橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，直線與線段和橢圓的短軸分別交于兩個(gè)不同點(diǎn)，，且，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）直線的方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)代入橢圓方程，即可得出結(jié)論；

（2）直線的方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出以及的取值范圍，進(jìn)而得出的值，再由三角形的面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出四邊形面積的最小值.

設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，

（1）把代入得

所以，

因?yàn)?/span>

所以，即

因?yàn)?/span>

所以點(diǎn)不在橢圓上；

（2）由代入得

則，

又，，

因?yàn)?/span>，所以，即

所以

因?yàn)橹本�與線段及橢圓的短軸分別交于不同兩點(diǎn)

所以

又，則

故，

，即

因?yàn)?/span>，

所以

因?yàn)?/span>

所以

故當(dāng)或時(shí)，四邊形面積的最小值為.