Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂（3，0），離心率為e=

3

2

．
（1）求橢圓的方程．
（2）設(shè)直線y=kx與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為線段AF₂，BF₂的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由題意得

c=3 c a = 3 2

，解得a，再結(jié)合a²=b²+c²，可求得b²，從而可得橢圓的方程；
（2）由橢圓的方程與直線的方程y=kx聯(lián)立，得（3+12k²）x²-12×3=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

F2A

=（x₁-3，y₁），

F2B

=（x₂-3，y₂），依題意，AF₂⊥BF₂，由

F2A

•

F2B

=0即可求得k的值．

解答：解：（1）由題意得

c=3 c a = 3 2

，得a=2

3

．  …（2分）
結(jié)合a²=b²+c²，解得a²=12，b²=3．…（4分）
所以，橢圓的方程為

x2

12

+

y2

3

=1．        …（6分）
（2）由

x2 12 + y2 3 =1 y=kx

，得（3+12k²）x²-12×3=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=0，x₁x₂=-

36

3+12k2

，…（10分）
依題意，OM⊥ON，
易知，四邊形OMF₂N為平行四邊形，所以AF₂⊥BF₂，…（12分）
因?yàn)?span id="2f5lfdc" class="MathJye">

F2A

=（x₁-3，y₁），

F2B

=（x₂-3，y₂），
所以

F2A

•

F2B

=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+9=0，
即

-12×3(1+k2)

3+12k2

+9=0，
解得k=±

2

4

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，屬于難題．